• :00Days
• :00Hours
• :00Mins
• 00Seconds
A new era for learning is coming soon

Suggested languages for you:

Americas

Europe

Q. 48

Expert-verified
Found in: Page 625

### Calculus

Book edition 1st
Author(s) Peter Kohn, Laura Taalman
Pages 1155 pages
ISBN 9781429241861

# In Exercises 48–51 find all values of p so that the series converges.$\sum _{k=1}^{\infty }\frac{\mathrm{ln}\left(k\right)}{{k}^{p}}$

$\mathrm{The}\mathrm{integral}{\int }_{\mathrm{x}=1}^{\infty }\frac{\mathrm{ln}\left(\mathrm{x}\right)}{{\mathrm{x}}^{\mathrm{p}}}\mathrm{dx}\mathrm{converges}\mathrm{for}\mathrm{p}>1.\phantom{\rule{0ex}{0ex}}\mathrm{Thus},\mathrm{the}\mathrm{series}\sum _{\mathrm{k}=1}^{\infty }\frac{\mathrm{ln}\left(\mathrm{k}\right)}{{\mathrm{k}}^{\mathrm{p}}}\mathrm{is}\mathrm{convergent}\mathrm{for}\mathrm{p}>1.$

See the step by step solution

## Step 1. Given information is:

$\sum _{k=1}^{\infty }\frac{\mathrm{ln}\left(k\right)}{{k}^{p}}$

## Step 2. Examining nature of given function:

$\mathrm{Consider}\mathrm{the}\mathrm{function}\mathrm{f}\left(\mathrm{x}\right)=\frac{\mathrm{ln}\left(\mathrm{x}\right)}{{\mathrm{x}}^{\mathrm{p}}}.\phantom{\rule{0ex}{0ex}}\mathrm{The}\mathrm{function}\mathrm{f}\left(\mathrm{x}\right)=\frac{\mathrm{ln}\left(\mathrm{x}\right)}{{\mathrm{x}}^{\mathrm{p}}}\mathrm{is}\mathrm{continuous},\mathrm{decreasing},\mathrm{with}\mathrm{positive}\mathrm{terms}.\phantom{\rule{0ex}{0ex}}\mathrm{Therefore}\mathrm{all}\mathrm{the}\mathrm{conditions}\mathrm{of}\mathrm{integral}\mathrm{test}\mathrm{are}\mathrm{fulfilled}.\phantom{\rule{0ex}{0ex}}\mathrm{So},\mathrm{integral}\mathrm{test}\mathrm{is}\mathrm{applicable}.$

## Step 3. Solving the integral:

$\mathrm{Consider}\mathrm{the}\mathrm{integral}:{\int }_{\mathrm{x}=1}^{\infty }\mathrm{f}\left(\mathrm{x}\right)\mathrm{dx}={\int }_{\mathrm{x}=1}^{\infty }\frac{\mathrm{ln}\left(\mathrm{x}\right)}{{\mathrm{x}}^{\mathrm{p}}}\mathrm{dx}.\phantom{\rule{0ex}{0ex}}\phantom{\rule{0ex}{0ex}}\mathrm{Therefore},\phantom{\rule{0ex}{0ex}}{\int }_{\mathrm{x}=1}^{\infty }\mathrm{f}\left(\mathrm{x}\right)\mathrm{dx}=\underset{\mathrm{k}\to \infty }{\mathrm{lim}}{\int }_{\mathrm{x}=1}^{\mathrm{k}}\frac{\mathrm{ln}\left(\mathrm{x}\right)}{{\mathrm{x}}^{\mathrm{p}}}\mathrm{dx}\phantom{\rule{0ex}{0ex}}\phantom{\rule{0ex}{0ex}}=\underset{\mathrm{k}\to \infty }{\mathrm{lim}}{\int }_{\mathrm{u}=0}^{\mathrm{ln}\left(\mathrm{k}\right)}\mathrm{u}{\left({\mathrm{e}}^{\mathrm{u}}\right)}^{1-\mathrm{p}}\mathrm{du}\left(\mathrm{Put}\mathrm{ln}\left(\mathrm{x}\right)=\mathrm{u},⇒\frac{1}{\mathrm{x}}\mathrm{dx}=\mathrm{du}\right)\phantom{\rule{0ex}{0ex}}$

## Step 4. Result:

$\mathrm{The}\mathrm{improper}\mathrm{integral}\mathrm{converges}\mathrm{to}\mathrm{finite}\mathrm{value}\mathrm{only}\mathrm{when}\mathrm{p}>1.\phantom{\rule{0ex}{0ex}}\mathrm{Therefore},\mathrm{the}\mathrm{integral}{\int }_{\mathrm{x}=1}^{\infty }\frac{\mathrm{ln}\left(\mathrm{x}\right)}{{\mathrm{x}}^{\mathrm{p}}}\mathrm{dx}\mathrm{converges}\mathrm{for}\mathrm{p}>1.\phantom{\rule{0ex}{0ex}}\mathrm{Thus},\mathrm{the}\mathrm{series}\sum _{\mathrm{k}=1}^{\infty }\frac{\mathrm{ln}\left(\mathrm{k}\right)}{{\mathrm{k}}^{\mathrm{p}}}\mathrm{is}\mathrm{convergent}\mathrm{for}\mathrm{p}>1.$